4 jun. 2013

Construcción de la esponja de Menger con papel


Una de las herramientas básicas que conocer para construir geometría creo que es la papiroflexia, principalmente con los origamis que nos permiten crear estructuras realmente consistentes con simple papel.
 
Este fractal lo he construido con alumnos y alumnas de 4º de E.S.O. durante una semana cultural en el Instituto. Los materiales necesarios son:
- Papel (reciclado, tanto del alumnado como del centro)
- Paciencia :-)
 
La base para construir los cubos que forman la esponja de Menger es una forma que se llama módulo sonobe, es más fácil ver una imagen de cómo se hacen:
 

  
El módulo sonobe es la última figura de la imagen. Para hacer la esponja (que se ve al final de este post) hacen falta unos 800 módulos sonobe... así que es mejor enseñarles a principio de curso, y cuando han terminado pronto ejercicios de clase, cuando tienen una hora de guardia, cuando están aburridos en el recreo... van haciendo figuras y entregándolas... y para abril tendremos suficientes (cuando aprenden las hacen con una habilidad tremenda y les "pica" ponerse a hacer).

Con estos módulos sonobe se construyen cubos, doblando por las líneas de puntos que se ven en la imagen, metiendo las solapas de unos módulos sonobe dentro de otros, la forma más fácil de aprender es viendo un vídeo, comó éste:
 
 


Y uniendo cubos y cubos... formamos el cubo que se ve en la siguiente imagen. Fijáos en que hay un alumno de 4º apoyado... ¿veis la resistencia que tiene?:



La visión espacial que crea esta figura es asombrosa, y se puede practicar, por ejemplo, la fórmula de Euler. Además el trabajar con módulos sonobe fomenta mucho la imaginación, porque el mismo alumnado creaba estructuras por su cuenta :-)

La primera imagen y más información sobre la esponja de Menger se puede encontrar en el estupendo blog Juegos Topológicos.

Construcción de Tetraedros de Sierpinski


El empezar a trabajar con fractales en un centro llama mucho la atención tanto a los compañeros docentes, como al alumnado que no está realizando la actividad. La construcción anterior del triángulo de Sierpinski con latas, llamó de tal forma la atención a los más pequeños de 1º y 2º de E.S.O., que ideé una actividad menos "aparatosa" que hacer con ellos, construyendo la misma figura.
 
Ellos han hecho el triángulo de Sierpinski pero en 3D, formado por tetraedros en lugar de triángulos equiláteros. Los materiales utilizados han sido:
- Pajitas de refresco.
- Masilla (para unir las pajitas, también serviría cola, celo, ...).
 
El procedimiento es sencillo:
Paso 1: se dividen las pajitas en partes iguales (porque con el tamaño real que tienen al ser tan largas la figura sería muy inestable).
Paso 2: se unen 6 pajitas formando un tetraedro, uniendo los extremos con masilla.
Paso 3: se toman 4 tetraedros del paso 2, se colocan tres de ellos en forma triangular como base, y el 4º arriba, cerrando un nuevo tetraedro más grande.
Siguientes pasos: con 4 tetraedros del paso 3, se colocan 3 tetraedros de base y el 4º encima formando otro tetraedro todavía más grande, y así sucesivamente.
 
Como todos tienen que construir tetraedros, y luego unirlos entre sí, es un trabajo realmente en equipo, muy colaborativo porque todos dependen de todos para que el montaje final "cuadre" o "encaje" bien.
 
Los alumnos y alumnas disfrutaron muchísimo, y lo utilizaron como regalo a sus familias realmente orgullosos de su trabajo. Es una estupenda experiencia que aconsejo realizar: ¡jamás se les olvidará cómo es un tetraedro!
 
El trabajo con este material da pie a formar otras figuras fractales, como por ejemplo la cuva de Koch:
 



Construcción del Triángulo de Sierpinski con latas


Este blog no tendría sentido si no comenzamos ya a "construir geometría". El triángulo de Sierpinski, ya nombrado en el post anterior ¿Qué son los fractales? se puede construir de una manera muy sencilla, ya que el único conocimiento previo de nuestro alumnado es el concepto de triángulo equilátero.
 
Con este concepto podemos construir el triángulo de Sierpinski en cualquier nivel de Secundaria, pero en particular elegí el construirlo con alumnado de 3º y 4º de E.S.O., dados los materiales a utilizar:
- Latas de refresco (así reciclamos)
- Silicona
- Pistolas de silicona
 
El procedimiento se puede observar en las imágenes, siendo los pasos los siguientes:
Paso 1: Triángulos básicos (los más pequeños): se pegan tres latas formando el triángulo.
Paso 2: con tres triángulos básicos (Paso 1) construimos un nuevo triángulo equilátero más grande (de lado el doble que el anterior).
Paso 3: con 3 triángulos del Paso 2 construimos otro triángulo equilátero todavía más grande (de lado el doble que el anterior).
Siguientes pasos: vamos repitiendo el proceso de igual forma hasta construir un ¡¡triángulo gigante!!
 
 
Para éste que se ve en la imagen a medio hacer, necesitamos 729 latas... montado entero medía más de metro y medio... ¿os animáis a hacerlo? El número de latas parece muy elevado, pero, si hacéis un proceso de reciclaje en el centro, se consiguen más de 1000 sin problemas, eso sí: hay que ir avisando de que traigan las latas con un par de meses mínimo de antelación ;-),
 

¿Qué son los fractales?

 
 
Un fractal es una de las bellezas que podemos encontrar en el mundo matemático... y en la naturaleza. Son figuras que se repiten infinitamente una dentro de otra, guardando la proporción, en distintos tamaños. Un ejemplo muy claro se aprecia en el fractal llamado triángulo de Sierpinski, donde dentro de cada triángulo equilátero se pueden formar 4 triángulos equiláteros más pequeños, otros 4 dentro de éstos, y así infinitamente... :
 
 
 
Antiguamente se les llamaba "monstruos de las matemáticas" porque nadie podría "controlarlos", no se sabía cómo definirlos, pero llegó Benoît Mandlebrot y consiguió "dominarlos", sentando las bases para poder calcular sus dimensiones (¡tienen dimensión decimal!).
 
Desgraciadamente en 2010 Mandelbrot falleció dejándonos este mundo por descubrir, y dedicando los últimos años de su vida dando conferencias hablando de estos "monstruos". En una de estas charlas tuve la oportunidad de conocerlo y puedo decir que se expresaba maravillosamente y transmitía su pasión por los fractales. Como conocedor de estas "figuras", uno de los fractales que trabajó es muy conocido y lleva su nombre, es el que aparece en la primera imagen: el fractal de Mandelbrot.
 
En la siguiente entrada explicaré cómo he trabajado la construcción de fractales en el aula con mis alumnos y alumnas ;-)
 
 


Bienvenidos/as al blog



¡Bienvenidos/as!

Habéis llegado a un blog para docentes, en el que poder encontrar material que utilizar en clase de matemáticas en Secundaria, así como la narración de la experiencia de probarlo directamente en el aula. ¡No hay nada como verlo para creerlo!

Nuestro alumnado es más hábil de lo que pensamos, y la construcción de la geometría proporciona una visión espacial real y necesaria en los jóvenes para posteriormente hacer los cálculos presentes en los contenidos del currículo.

Si además de ver las experiencias realizadas aquí, queréis tener acceso a relaciones de ejercicios de otras áreas de las matemáticas en los distintos niveles de la ESO, os invito a visitar mi web: www.mathematikas.com.

Saludos,

Lourdes